「置換積分法」のコツ

【積分計算】置換積分はいつ使う？見分け方の5つのチェックポイントを徹底解説！

「この積分、どうやって計算するんだろう…？」

積分計算で多くの人がつまずくポイント、それが置換積分です。部分積分と並んで、複雑な積分を解くための重要なテクニックですが、「いつ置換積分を使えばいいのか分からない！」という声をよく聞きます。

そこで今回は、置換積分を使うべきか瞬時に判断するための**「5つのチェックポイント」**を、例題を交えながら分かりやすく解説します！この記事を読めば、あなたも置換積分マスターに一歩近づけるはずです💪

置換積分の基本：なぜ「置き換える」のか？

そもそも置換積分とは、積分の中の複雑な部分を、別の文字（例えば t）に置き換えることで、計算をシンプルにするテクニックです。

公式で書くとこうなります。

∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(t)dt(ただしt=g(x))

この公式のポイントは、g(x) という「塊（かたまり）」とその微分である g′(x) がセットで積分の中に存在することです。この**「塊」と「その微分」のセットを見つけ出す**ことが、置換積分を見分ける最大のゴールになります。

それでは、そのセットを見つけ出すための5つのチェックポイントを見ていきましょう！

置換積分を見分ける5つのチェックポイント

✅ チェックポイント1：合成関数かどうかを確認

まずは積分したい式を眺めて、「関数の中に別の関数が入っている」形、つまり合成関数になっていないかを探します。

• 例1: (x2+1)3⟹「x3」という関数の中に「x2+1」が入っている
• 例2: ex2⟹「ex」という関数の中に「x2」が入っている
• 例3: sin(2x+1)⟹「sinx」という関数の中に「2x+1」が入っている

このように、カッコ () の中や指数関数の「肩」、三角関数の中身などが塊になっている部分が、置換する有力候補です。

✅ チェックポイント2：導関数の存在を探す

チェックポイント1で見つけた「内側の関数（塊）」を微分したものが、式のどこかに掛け算されていないか探します。これこそが置換積分が使えるかどうかの最重要ポイントです。

例題

∫(x2+1)3⋅2xdx

考え方

1. 【チェック1】 (x2+1)3 は合成関数。内側の関数は x2+1 です。
2. 【チェック2】 内側の関数 x2+1 を微分すると、$ (x^2+1)' = 2x $。
3. この 2x が、式の外側に掛けられていますね！これは置換積分が使えるサインです。

計算

t=x2+1 と置くと、dt=2xdx となるので、

∫(x2+1)3⋅2xdx=∫t3dt=41​t4+C=41​(x2+1)4+C

見事に簡単な積分になりました！✨

✅ チェックポイント3：根号（ルート）の処理

hoge​（ルート）を含む積分が出てきたら、まずは根号の中身を丸ごと置換できないかを検討しましょう。

例題

∫xx2+1​dx

考え方

1. 【チェック3】 ルートがあるので、中身の x2+1 を t と置いてみます。 t=x2+1
2. 【チェック2】 t を微分すると dt=2xdx。式には xdx があるので、xdx=21​dt と変形すれば使えそうです。

計算

∫x2+1​⋅xdx=∫t​⋅21​dt=21​∫t21​dt=31​t23​+C=31​(x2+1)x2+1​+C

✅ チェックポイント4：三角関数のペア

三角関数の積分では、微分すると相方になる「ペア」を意識することが重要です。

• (sinx)′=cosx
• (cosx)′=−sinx
• (tanx)′=sec2x=cos2x1​

例題

∫tanxdx=∫cosxsinx​dx

考え方

1. 【チェック4】 sinx と cosx のペアがあります。
2. 分数の形なので、分母である cosx を t と置いてみましょう。t=cosx
3. 【チェック2】 微分すると dt=−sinxdx。分子の sinx と符号が違うだけなので、これは使えます。

計算

∫cosxsinx​dx=∫t−dt​=−log∣t∣+C=−log∣cosx∣+C

✅ チェックポイント5：指数・対数のパターン

指数関数や対数関数には、置換積分でよく使われる典型的なパターンがあります。

ef(x) の形を見たら、肩に乗っている f(x) を置換してみましょう。

例題

∫2xex2dx

考え方

1. 【チェック1, 5】 指数関数 ex2 があります。肩の x2 を t と置きます。 t=x2
2. 【チェック2】 微分すると dt=2xdx。これが式の外側にありますね。

計算

∫ex2⋅2xdx=∫etdt=et+C=ex2+C

分数関数の積分で、**「分母の微分が分子」**になっているパターンは、積分すると対数（log）になります。これは置換積分の超頻出パターンです。

例題

∫x2+3x−42x+3​dx

考え方

1. 【チェック5】 分数関数なので、分母を塊と見てみます。 t=x2+3x−4
2. 【チェック2】 微分すると dt=(2x+3)dx。これは分子と完全に一致します。

計算

∫x2+3x−42x+3​dx=∫t1​dt=log∣t∣+C=log∣x2+3x−4∣+C

まとめ

置換積分を見分けるための5つのチェックポイントをもう一度おさらいしましょう。

1. 合成関数か？ ⟹ 関数の中の関数を探す
2. 導関数はあるか？ ⟹ 中身を微分したものが近くにないか探す
3. ルートはあるか？ ⟹ 中身を置換してみる
4. 三角関数のペアは？ ⟹ 微分関係のペアを探す
5. 指数・対数のパターンか？ ⟹ 肩の部分や、分母・分子の関係をチェック

最初は見つけるのが難しいかもしれませんが、この5つのチェックポイントを意識してたくさんの問題に触れることで、だんだんと「この形は置換積分だな」と直感的に分かるようになってきます。諦めずに練習を続けて、積分計算を得意分野にしてくださいね！応援しています！