「２次関数の最大最小」のコツ④（定義域の両端が動く）

数学のコツ 2025年6月22日 2025年6月22日「２次関数の最大最小」のコツ④（定義域の両端が動く）

【高校数学】2次関数の最大最小、定義域が動くって怖くない！攻略のコツ

皆さん、こんにちは！数学の勉強は順調に進んでいますか？

2次関数の最大最小問題、得意な人もいれば、ちょっと苦手意識がある人もいるかもしれませんね。特に、定義域の両端が動くタイプの問題になると、「うわ、複雑そう…」と身構えてしまう人も多いのではないでしょうか？

でも、安心してください！このタイプの問題にも、しっかりとした攻略法とコツがあります。今回は、そんな「定義域の両端が動く2次関数の最大最小」問題の解き方を、具体例を交えながら分かりやすく解説していきます。

通常の2次関数の最大最小問題は、定義域が固定されているため、軸の位置と定義域の関係を一度考えれば終わりです。しかし、定義域が動くと、その軸と定義域の位置関係が変化するため、場合分けが必要になります。これが、難しく感じる最大の理由です。

では、具体的にどのように考えていけば良いのでしょうか？攻略の鍵は、以下の2点です。

2次関数の最大最小は、基本的には頂点（軸）の位置と、定義域の両端の値で決まります。定義域が動くということは、この「軸」と「定義域」の相対的な位置関係が常に変化するということです。

一般的に、のグラフについて、定義域が（は定数、は変数）のように与えられている場合を考えましょう。

頂点の座標をとします。このとき、場合分けは大きく分けて以下の3つのパターンに集約されます。

1. 定義域が軸の左側にある場合

2. 定義域が軸をまたぐ場合

定義域の左端が軸の左側、右端が軸の右側にある、つまりの場合です。
このとき、**最小値は軸であるのとき（頂点）**となります。
最大値は、軸から遠い方の定義域の端点でとります。つまり、との大小関係によって、またはのいずれかで最大値をとります。さらに細かく場合分けが必要になることもあります。

3. 定義域が軸の右側にある場合

これらのパターンを、グラフを書きながら視覚的に理解することが非常に重要です。

文章で説明するだけではピンとこないかもしれません。一番のコツは、2次関数のグラフは固定したまま、定義域の区間を左右にスライドさせていくイメージを持つことです。

まず、与えられた2次関数の軸の方程式を求め、グラフの概形を把握します。
次に、定規やペンなどを定義域に見立てて、それを左右に動かしてみましょう。
定義域を動かす中で、軸が定義域のどこに位置するかを常に意識します。
- 軸が定義域の左外にあるとき
- 軸が定義域の内にあるとき（最小値は頂点）
- 軸が定義域の右外にあるとき
それぞれの位置関係で、最大値・最小値をとるの値がどこになるのかを確認します。

例：関数（）の最大値と最小値を求めよ。

この関数の軸はです。定義域の右端が動きます。