中学受験「場合の数」のコツ

数学のコツ 2025年7月12日 2025年7月12日

中学受験算数「場合の数」は得意分野に！プロが教える攻略のコツ

中学受験の算数で、多くの受験生が苦手意識を持つ単元の一つに「場合の数」があります。「場合の数」は、組み合わせや並べ方など、限られた条件の中で何通りのパターンがあるかを数え上げる問題です。一見すると難しそうですが、実はコツと正しいアプローチを知っていれば、得意分野に変えることができるんです。

今回は、中学受験算数の「場合の数」を攻略するための具体的なコツと、考え方のステップを解説します。

「場合の数」の基本は、すべての場合を漏れなく、重複なく数え上げることです。そのためには、頭の中だけで考えるのではなく、実際に書き出すことが非常に有効です。

樹形図（じゅけいず）：最も基本的な方法です。最初の選択肢から枝分かれするように、次の選択肢、その次の選択肢と、考えられるすべての場合を書き出していきます。特に、段階的に選択肢が減っていく問題や、順番が関係する並べ方の問題で威力を発揮します。
表や図：2つの要素が関係する問題（例：サイコロ2個の目の出方、男女の組み合わせなど）では、表を使うと整理しやすくなります。図形に関する場合の数では、実際に図を書いて線や点を数えるのも効果的です。

最初は時間がかかるように思えても、視覚的に整理することで、間違いなく正確な答えにたどり着くための最も確実な方法です。

場合の数の問題を解く上で、頻繁に使うのが「和の法則」と「積の法則」です。この2つの法則を使いこなせるようになれば、計算で素早く答えが出せるようになります。

和の法則：

「Aという事柄がm通り、Bという事柄がn通りあり、AとBが同時には起こらない（排反である）とき、AまたはBが起こる場合の数は m+n 通り」

例えば、「サイコロを振って奇数が出るか、または3の倍数が出る場合」のように、「または」「〜か、〜か」という言葉がヒントになることが多いです。
積の法則：

「Aという事柄がm通り、そのそれぞれに対してBという事柄がn通り起こるとき、AとBが連続して起こる場合の数は m×n 通り」

例えば、「A地点からB地点まで行く方法が3通り、B地点からC地点まで行く方法が2通りあるとき、A地点からC地点まで行く方法」のように、「続けて」「〜してから〜する」といった言葉がヒントになります。

この2つの法則を正しく使い分けることが、計算問題を解く鍵です。問題文をよく読み、どの法則を使うべきかを見極めましょう。

複雑な問題に出会ったとき、問題をシンプルにするためのテクニックも重要です。

グループ分け（場合分け）：

条件が複数ある場合や、状況によって考え方が変わる場合は、条件ごとに**「場合分け」**をして、それぞれの場合の数を計算し、最後にそれらを合計します。例えば、「少なくとも1人は男子がいる場合」のような問題では、「男子1人の場合」「男子2人の場合」…と分けて考えることができます。
余事象（よじしょう）：

「〜でない場合」「少なくとも〜の場合」といった表現が出てきたら、「全体の場合の数」から「該当しない場合の数（余事象）」を引く、という考え方が有効です。

例えば、「少なくとも1人は男子がいる場合」は、「全体の組み合わせ」から「全員女子の組み合わせ」を引く方が、個別に場合分けするよりも簡単になることがあります。