「ド・モアブルの定理」のコツ

複素数の強力な味方！「ド・モアブルの定理」を使いこなすコツ

今日は、複素数というちょっと不思議な数の世界で大活躍する、**「ド・モアブルの定理」**についてお話ししたいと思います。

「名前は聞いたことあるけど、なんだか難しそう…」と感じている方もいるかもしれませんね。でも大丈夫！いくつかのコツさえ掴めば、この定理はあなたの強力な味方になってくれます。

ド・モアブルの定理って、そもそも何？

まず、ド・モアブルの定理の骨子を確認しましょう。

複素数 z を極形式で z=r(cosθ+isinθ) と表せる時、

任意の整数 n について、

が成り立つ、というのがド・モアブルの定理です。

簡単に言うと、

• 絶対値は n 乗する！ (r が rn に)

• 偏角は n 倍する！ (θ が nθ に)

と覚えると、イメージしやすいかもしれません。

ド・モアブルの定理を使いこなすための「３つのコツ」

では、この強力な定理を使いこなすための具体的なコツを3つご紹介しましょう。

コツ１：まずは「極形式」に変換すべし！

ド・モアブルの定理を使う上で、最も重要なステップがこれです。与えられた複素数が a+bi のような直交形式で与えられている場合、まずは極形式 r(cosθ+isinθ) に変換しましょう。

• 絶対値 r の求め方: r=a2+b2​

• 偏角 θ の求め方: cosθ=ra​, sinθ=rb​ となる θ を見つける

特に偏角 θ は、どの象限にあるかを意識して正確に求めることが大切です。単位円をイメージすると分かりやすいですよ。

コツ２：「n 乗根」に応用する力をつける！

ド・モアブルの定理の真骨頂は、n 乗根を求める際に発揮されます。

zn=w となる z を求める問題（w の n 乗根を求める問題）を考えてみましょう。

w を極形式で w=R(cosΦ+isinΦ) と表し、

z を極形式で z=r(cosθ+isinθ) と表すと、

ド・モアブルの定理より、zn=rn(cosnθ+isinnθ) です。

これが w と等しいので、

となります。ここがポイント！ 偏角は 2π ごとに同じ位置に戻ってくるので、2kπ を忘れずに加えることが重要です。

• r=nR​

• θ=nΦ+2kπ​

この k に 0,1,2,…,n−1 を代入することで、n 個の異なる n 乗根が求まります。この 2kπ を忘れると、解をすべて見つけられないので要注意です！

コツ３：図形的な意味を理解する！

ド・モアブルの定理は、単なる計算式ではありません。複素平面上で非常に美しい図形的な意味を持っています。

• 絶対値の n 乗: 原点からの距離が n 乗されることを意味します。

• 偏角の n 倍: 原点を中心に角度が n 倍されることを意味します。

特に、n 乗根を求める場合、その解は複素平面上で原点を中心とする正 n 角形の頂点に配置されます。このイメージを持つことで、計算結果の検算にも役立ちますし、より深く定理を理解することができます。

まとめ：恐れずに使ってみよう！

ド・モアブルの定理は、一見すると複雑に見えるかもしれませんが、上記３つのコツを意識すれば、必ず使いこなせるようになります。

1. 極形式に変換

2. n 乗根の 2kπ を忘れない

3. 図形的な意味を理解する

この定理をマスターすれば、三角関数の多倍角の公式の導出や、様々な方程式の解法に応用できるなど、数学の学習がさらに楽しくなるはずです。

ぜひ、積極的に問題演習に取り組んで、ド・モアブルの定理をあなたの武器にしてくださいね！