「正弦定理」のコツ

みなさん、こんにちは！

渋谷数学塾塾長の清水です。

今日は「正弦定理」コツを紹介しますね。

正弦定理をマスターする3つのコツ！これでテストも怖くない

数学の図形問題でよく登場する正弦定理。「なんとなく公式は覚えているけど、いざ問題を解くとなるとなかなか使いこなせない…」と感じている方も多いのではないでしょうか？

正弦定理は、三角形の辺の長さと角の正弦（サイン）の関係を表す非常に便利なツールです。これを使いこなせれば、今まで解けなかった問題もスラスラ解けるようになりますよ！

今回は、正弦定理をマスターするための3つのコツをご紹介します。

1. 正弦定理の「形」をしっかり覚える

まず基本中の基本ですが、正弦定理の公式を正確に覚えましょう。

ここで、

• a,b,c：三角形の3つの辺の長さ

• A,B,C：それぞれの辺と向かい合う角の大きさ

• R：三角形の外接円の半径

を表します。

この公式を見て、「げ、覚えることが多い…」と思った方もいるかもしれませんね。でも大丈夫！ポイントは、**「向かい合う辺と角のペア」**に注目することです。

例えば、aは角Aと向かい合っていますよね？ 正弦定理は、「辺の長さ ÷ その辺と向かい合う角のサイン」が、どの辺と角のペアでも同じ値になることを示しているんです。

まずはこの美しい関係性を頭に叩き込みましょう！

2. 「どんな時に使うか」を明確にする

公式を覚えるだけでは、実際に問題を解く時に「いつ使えばいいの？」と迷ってしまいますよね。正弦定理を使うのは、主に以下の2つのパターンです。

• パターン1：2つの角と1つの辺の長さが分かっているとき

  例えば、角Aと角Bの大きさと、辺aの長さが分かっている場合、辺bの長さを求めることができます。

   

  sinAa​=sinBb​

   

  この式を変形すれば、b=sinAasinB​ と簡単に求まります。

• パターン2：2つの辺と1つの角の大きさが分かっていて、別の角の大きさを知りたいとき

  例えば、辺aと辺bの長さ、そして角Aの大きさが分かっている場合、角Bの大きさを求めることができます。

   

  sinAa​=sinBb​

   

  この式を変形すれば、sinB=absinA​ となり、角Bのサインの値が分かります。

さらに、外接円の半径Rが絡む問題でも正弦定理は大活躍します。

• 外接円の半径Rが分かっていて、辺の長さを求めたいとき

  例：a=2RsinA

このように、「今、何が分かっていて、何を求めたいのか」を整理することが、正弦定理を使うかどうかの判断基準になります。問題文から与えられた情報と、求めたい情報を冷静に把握しましょう。

3. 計算の前に「イメージ」する

複雑な計算を始める前に、一度図形をざっと頭の中でイメージしてみましょう。

• 「一番長い辺の向かい側には、一番大きな角があるはずだ」

• 「鋭角三角形なのか、鈍角三角形なのか？」

などを意識するだけでも、計算ミスや、サインの値の取り違え（例えば、sin30∘=1/2 と sin150∘=1/2 のように、同じサインの値を持つ角が2つある場合）を防ぐことができます。

特に、角の大きさを求めるときは、答えが一つに絞れない場合があります。例えば、sinB=21​ となった場合、角Bは30∘だけでなく、150∘の可能性もあります。このとき、他の角の大きさとの合計が180∘を超えるか超えないかなど、三角形の内角の和が180∘であるという制約を意識して、適切な方を選ぶ必要があります。

まとめ

正弦定理を使いこなすための3つのコツ、いかがでしたでしょうか？

1. 公式の「形」をしっかり覚える（向かい合う辺と角のペア！）

2. 「どんな時に使うか」を明確にする（与えられた情報と求めたい情報で判断！）

3. 計算の前に「イメージ」する（図形の性質を意識！）

これらのコツを意識して、たくさんの問題を解いてみてください。練習を重ねることで、正弦定理があなたの強力な武器になるはずです！

正弦定理をマスターして、図形問題を楽しく解いていきましょう！