「ロピタルの定理」のコツ

数学のコツ 2025年7月25日 2025年7月25日「ロピタルの定理」のコツ

数学が苦手でも大丈夫！ロピタルの定理を「ずる賢く」使いこなすコツ

みなさん、こんにちは！
渋谷数学塾塾長の清水です。
突然ですが、数学の「極限」って聞いたことありますか？

「ああ、なんか難しそう…」「をどんどん近づけるやつでしょ？」って思った方もいるかもしれませんね。極限の計算って、途中で「あれ？これ、どうすればいいの？」って手が止まっちゃうこと、よくありますよね。特に「不定形」と呼ばれる「」とか「」が出てきた時なんかは、「もうお手上げ！」ってなっちゃいます。

でも、安心してください！そんな時に、まるで魔法のように計算を楽にしてくれる「ずる賢い」方法があるんです。それが、今回ご紹介する**「ロピタルの定理」**です！

「定理」って聞くと、また難しそうな顔になっちゃうかもしれませんが、大丈夫！ポイントを抑えれば、数学が苦手な方でもバッチリ使いこなせるようになります。

簡単に言うと、ロピタルの定理は、**「」や「」の形になった極限を、微分を使って簡単に計算するためのルール」**です。

イメージとしては…

複雑でごちゃごちゃした分数式（極限の計算で出てくるやつ）があったとします。このままだと、どこに辿り着くのかサッパリわかりません。

そこで、ロピタルの定理が「よし、ちょっと整理しようか！」と言って、分子（分数の上の部分）と分母（分数の下の部分）をそれぞれ別々に微分するという、とってもシンプルな作業を提案してくれます。

すると、あら不思議！元の複雑な式が、グッとシンプルになって、極限の値がパッと見つけられるようになるんです。

ロピタルの定理を使う大前提として、極限を計算しようとした結果が「」か「」の形になることが挙げられます。

0/0（ゼロ分のゼロ）:

例えば、x を 1 に近づけるときに、分子も 0 に、分母も 0 になってしまうような形です。

例: limx→1x2−1x−1 （x=1 を代入すると 00 になりますね）
∞/∞（無限大分の無限大）:

例えば、x をどこまでも大きくしていくときに、分子も無限大に、分母も無限大になってしまうような形です。

例: limx→∞x−32x+1 （x が大きくなると、分子も分母もどんどん大きくなりますね）

これらが出てきたら、「よし、ロピタルの定理の出番だ！」と心の中でガッツポーズしましょう。

たったこれだけ！本当にシンプルなんです。

ステップ1：まずは「不定形」か確認！

計算したい極限が、本当に x を近づけたときに「0/0」または「∞/∞」の形になるか確認します。ならない場合はロピタルの定理は使えません。
ステップ2：分子と分母をそれぞれ微分！

分子の関数だけを微分して新しい分子にし、分母の関数だけを微分して新しい分母にします。

注意！商の微分法ではありません！それぞれ単独で微分するだけです。ここがポイント！
ステップ3：もう一度極限を計算！

新しくできた分数式で、もう一度極限を計算してみます。もしこれで値が出れば、それが答えです！
ステップ4：もしまた「不定形」になったら？

もし、ステップ3でもまた「0/0」や「∞/∞」の形になってしまったら、心配いりません。**ステップ2とステップ3を繰り返します。**つまり、さらに微分して、もう一度極限を計算してみるんです。これを答えが出るまで繰り返します。